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Doppelsterne
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Inhalt :
  • Johannes Kepler
  • Keplergesetze
  • Sir Isaac Newton
  • Newtons Axiome
  • Gravitationsgesetz
  • Massenberechnung
  • Anhang Bahnelemente
  • Anhang Kausalität


Johannes Kepler



Sir Isaac Newton






Die Masse der Sterne

Anhand von Doppelsternbahnen lässt sich die Masse der Sterne bestimmen. Nachfolgend sind die hierzu notwendigen Zusammenhänge kurz dargestellt.


Johannes Kepler

Aufgrund der sehr guten Beobachtungsdaten vom Tycho Brahe konnte Johannes Kepler in seinen Werken Astronomia Nova (Neue Astronomie, 1609) und Harmonices Mundi (Weltharmonik, 1619) die 3 Gesetze der Planetenbewegung formulieren, die als Keplersche Gesetze oder Kepler-Gesetze bezeichnet werden:

Die Keplerschen Gesetze
  • Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet
  • In  gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen
  • Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten um die Sonne sind proportional den dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Ellipsenbahnen.
Isaac Newton

Johannes Kepler fand die Planetengesetze empirisch heraus, Isaac Newton baute hierzu mit seiner Gravitationstheorie das mathematische Fundament. Es ist daher nicht verwunderlich, dass sich die Keplergesetze aus der Gravitationstheorie herleiten lassen. Auf die Herleitung des Gravitationsgesetzes wird an dieser Stelle verzichtet, man findet sie in zahlreichen Lehrbüchern der Physik.

Newtons Principia Mathematica, aus [1] entnommen

Newtons Axiome

  • Das Trägheitsprinzip: „Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird“
  • Grundgesetz der Dynamik: „Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.“
  • Wechselwirkungsprinzip: „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio)“

Newtonsches Gravitationsgesetz

Der Betrag der Gravitationskraft ist proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Massen.

mit

F die Kraft zwischen den Massenpunkten
m1 die Masse des ersten Massenpunktes
m2 die Masse des zweiten Massenpunktes
R der Abstand zwischen den Massenpunkten
G die Gravitationskonstante

Betrachtet man eine Masse die sich periodisch um eine zweite Masse bewegt, so ist die Gravitationskraft für jeden Punkt der Bahn gleich der Zentrifugalkraft. Bestünde kein Gleichgewicht der Kräfte, so würden beide Massen kein stabiles System bilden.

Für eine einfache Kreisbahn gilt:


Mit der Winkelgeschwindigkeit folgt


Unter der Voraussetzung m=m1=m2 folgt


Umgestellt nach der Masse m ergibt sich


Im Falle eines Doppelsterns ist m die Gesamtmasse des Systems. Man erkennt im Faktor sofort das 3. Kepler-Gesetz wieder.

Masseberechnung von Doppelsternen

Physische Doppelsterne sind gravitativ aneinander gebunden. Sie bewegen sich daher um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Somit waren die physischen Doppelsterne im 19. Jahrhundert ein wichtiger Hinweis dafür, dass Newtons Gravitationsgesetz auch außerhalb unseres Sonnensystems gültig ist. Liegen für ein physisches Doppelsternpaar genügend Beobachtungsergebnisse vor, so lassen sich aus diesen die Bahnelemente ableiten, aus denen eine scheinbare Umlaufbahn berechnet werden kann. Bei der scheinbaren Umlaufbahn stellt man sich den Hauptstern fest im Brennpunkt der Ellipse vor, während der Begleiter diesen elliptisch umläuft. Zur Berechnung der Gesamtmasse des Doppelsternsystems ist aber neben der Kenntnis der scheinbaren Bahn auch die Kenntnis über den Abstand zu unserer Sonne notwendig. Dieser ergibt sich aus der Parallaxe. Durch die Hipparcos Mission (Hipparcos = High Precision Parallax Collecting Satellite) ist die Parallaxe von den meisten helleren Sternen bekannt. Man findet sie z. B. im SIMBAD Katalog [2].

Anhand von alpha Herculi (Ras Agethi) soll die Masse exemplarisch berechnet werden :
Periode : 3600 Jahre
Achse : 4,68
Parallaxe : 0,00853 Bogensekunden

Aus dem Kehrwert der Parallaxe ergibt sich die Entfernung des Sterns von der Sonne in Parsec.
r = 1/ 0,00853 = 117,23 Parsec

Mit den angegebenen Werten ergibt sich für Ras Algehti eine Gesamtmasse von



m1 + m2  = 12,74 Sonnenmassen

Bei Ras Algethi handelt es sich um einen 3,48 Magnituden hellen Roten Riesen vom Spektraltyp M5Iab. Die Hauptkomponente selbst ist spektroskopisch doppelt und besitzt einen Begleiter mit einer Helligkeit von 5,40 Magnituden.
Anhang Bahnelemente

1. T = Zeitpunkt des Periastrons (Punkt der kleinsten Distanz)
2. a = große Halbachse i.a. in AE
3. e = numerische Exzentrizität
4. i = Inklination (Bahnneigung zur Ekliptik)
5. Omega = Länge des aufsteigenden Knotens
6. omega = Argument des Periastrons
7. Periode = Umlaufdauer in Jahren
Anhang : Einige wichtige Grundbegriffe der Mechanik des Massepunktes


1. Kinetische Energie:


mit:
m - Masse in Kg
v  - Geschwindigkeit in m/s

Die kinetische Energie Wk ist die Energie eines bewegten Massepunktes m.

2. Impuls:

 

Der Impuls p kann als Ableitung der kinetischen Energie Wk nach der Geschwindigkeit v dargestellt werden. Er ist das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit v.  Der Impuls ist die Einwirkung einer Kraft auf einen Massenpunkt (siehe Kraft).

3. Kraft:

 

Kraft F ist die Ableitung des Impulses p nach der Zeit t. Wirkt eine Kraft F auf eine starre Masse m, so erfährt diese eine Beschleunigung a. Dies ist die allgemeine Form der 2. Newtonschen Bewegungsgleichung (Aktionsprinzip) : "Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt." [3].

4. Beschleunigung:

 

Mathematisch betrachtet kann die Beschleunigung a als Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t, die Geschwindigkeit v wiederum als Ableitung des Ortes r nach der Zeit t beschrieben werden (siehe Geschwindigkeit). Somit ergibt sich die Beschleunigung a auch durch die zweite Ableitung des Ortes r nach der Zeit t.

5. Geschwindigkeit:

 

mit:
r – Weg in m

Mathematisch beschrieben ist die Geschwindigkeit v der Differentialquotient des Ortes r nach der Zeit t.



Quellennachweis

[1] das Bild des Buches Principia Mathematica wurde aus Wikepedia entnommen
[2] Centre de Données astronomiques de Strasbourg, SIMBAD Catalog
[3] Isaac Newton, Mathematische Prinzipien der Naturlehre, Die Klassiker der Physik, Ausgewählt und eingeleitet von Stephen Hawking, Verlag Hoffmann und Campe,
1. Auflage 2004

Weiterführende Literatur

Bergmann, Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1 Mechanik, Akustik, Wärme, de Gruyter Verlag
Gerthsen, Vogel, Physik, Springer Verlag
Istvan Szabo, Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen, Birkhäuser Verlag